――“身体の内部に溜まる全エントロピー” S (t)
の微分を考え、
d S (t) = ∫｛d q (x; t)（− ln p (x, s; t)）+ q (x; t) d（− ln p (x, s; t)）｝dx
を導き――
この d S (t) について、時刻 t から時刻 t + Δt にかけ、概算の積分を行うと――
形式的には、
Δ S (t)
= ∫｛Δ q (x; t)（− ln p (x, s; t)）+ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）｝dx
= Δ A (t) + Δ P (t)
であるものの――
実質的には――
主に運動をしている時は、
Δ S (t)
= ∫｛Δ q (x; t)（− ln p (x, s; t)）+ q (x; t)・0｝dx
= ∫ Δ q (x; t)（− ln p (x, s; t)）dx
= Δ A (t)
であり――
主に知覚をしている時は、
Δ S (t)
= ∫｛0・（− ln p (x, s; t)）+ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）｝dx
= ∫ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）dx
= Δ P (t)
である――
といえる。
ただし――
q (x; t) は、身体の持ち主が、身体の外部における状態について、主観的に見積もる確率であり――
x は、身体の外部における状態を決める変数であり――
− ln p (x, s; t) は、身体の持ち主が、身体の外部における状態について、感覚器を通して察するエントロピーであり――
ln は、高校の数学で学ぶ自然対数であり――
s は、身体の感覚器が受け取る信号を決める変数であり――
Δt は、“神経系の生理”の時間の尺度の最小単位と同程度の時間であり――
定数の項は省くこととする。
では――
この時間 Δt で、実際に何が起こるのか。
……
……
まずは、
Δ S (t)
= ∫｛0・（− ln p (x, s; t)）+ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）｝dx
= ∫ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）dx
= Δ P (t)
である時の Δ S (t) ――つまり、主に知覚をしている時の Δ S (t) ――を観よう。
今――
q (x, t) として、確率分布、
0.11, 0.22, 0.34, 0.22, 0.11
を――
p (x, s, t) として、確率分布、
0.13, 0.25, 0.24, 0.25, 0.13
を考える。
簡単のため、
x = −2, −1, 0, 1, 2
としている。
∫ q (x, t) dx = 1
や、
∫ p (x, s, t) dx = 1
と矛盾をせぬよう――
確率分布の値は調整をしている。
次に――
q ( x, t + Δt ) として、確率分布、
0.11, 0.22, 0.34, 0.22, 0.11
を――
p ( x, s, t + Δt ) として、確率分布、
0.10, 0.20, 0.40, 0.20, 0.10
を考える。
q (x, t) = q ( x, t + Δt )
であり、
p (x, s, t) ≠ p ( x, s, t + Δt )
である。
q (x, t) = q ( x, t + Δt )
の意味は自明であろう。
時刻 t から時刻 t + Δt にかけ、q (x, t) は変化をせぬ――
ということである。
一方、
p (x, s, t) ≠ p ( x, s, t + Δt )
の意味は自明ではない。
p (x, s, t) = 0.13, 0.25, 0.24, 0.25, 0.13
と、
p ( x, s, t + Δt ) = 0.10, 0.20, 0.40, 0.20, 0.10
とで――
何が違うのか。
……
……
確率分布の形が違う。
p (x, s, t) = 0.13, 0.25, 0.24, 0.25, 0.13
は、分布として散らばっていて、
p ( x, s, t + Δt ) = 0.10, 0.20, 0.40, 0.20, 0.10
は、分布として x = 0 を中心に集まっている。
この時――
Δ S (t)
= ∫ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）dx
= Δ P (t)
に相当をする値は、
0.11・｛− ln 0.10 −（− ln 0.13）｝
+ 0.22・｛− ln 0.20 −（− ln 0.25）｝
+ 0.34・｛− ln 0.40 −（− ln 0.24）｝
+ 0.22・｛− ln 0.20 −（− ln 0.25）｝
+ 0.11・｛− ln 0.10 −（− ln 0.13）｝
= − 0.02
である。
このことは――
p (x, s, t) の確率分布が、時刻 t から時刻 t + Δt にかけ、ある x を中心に集まっていくと、
Δ S (t)
= ∫ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）dx
= Δ P (t)
の値が負となることに対応をしている。
むろん――
これと逆の場合――つまり、p (x, s, t) の確率分布が、時刻 t から時刻 t + Δt にかけ、散らばっていく場合――を考えれば、
Δ S (t)
= ∫ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）dx
= Δ P (t)
の値は正となる。
このことは――
q (x, t) の確率分布をそのままに、p (x, s, t) の確率分布と p ( x, s, t + Δt ) の確率分布とを入れ換えると、
Δ S (t)
= ∫ q (x; t) Δ（− ln p (x, s; t)）dx
= Δ P (t)
に相当をする値が、
0.11・｛− ln 0.13 −（− ln 0.10）｝
+ 0.22・｛− ln 0.25 −（− ln 0.20）｝
+ 0.34・｛− ln 0.24 −（− ln 0.40）｝
+ 0.22・｛− ln 0.25 −（− ln 0.20）｝
+ 0.11・｛− ln 0.13 −（− ln 0.10）｝
= 0.02
となることに対応をしている。
要するに――
主に知覚をしている時は、概ね――
確率分布 p (x, s, t) が時間 Δt で集まっていくと、Δ S (t) は負の値となり――
確率分布 p (x, s, t) が時間 Δt で散らばっていくと、Δ S (t) は正の値となる――
といえる。
『随に――』
