きょうは――
問題６、問題７、問題８の解（と）き方をのべます。
これら３つの問題は――
いずれも問題５から作りだされたものでした。
問題５は――
以下の通りです。
＊
問題５
1 以上の整数が次のように順に並（なら）んでいる。
1、2、3、4、5、……、？
これら整数の平均（へいきん）は、これら整数から 7 と 14 とを除（のぞ）いても、変わらない、という。これら整数は、いくつまで並んでいるか（「？」に当たる整数は何か）求めよ。
＊
この問題の、
――解き方の前半
から、問題６と問題７が――
――解き方の後半
から、問題８が作りだされています。
では――
まず、問題６について――
＊
問題６
1 から 20 までの整数が順に並んでいる。
1、2、3、4、5、……、20
（1）これら整数の平均を求めよ。
（2）これら整数から 7 と 14 とを除いたものの平均を求めよ。
（3）これら整数から 2 つの整数を除いたものの平均が（1）で求めた平均と同じとき、除いた 2 つの整数の組み合わせを、できるだけ多く求めよ。
（1）
1、2、3、4、5、……、20
の平均は、
1 から 20 までの和 ÷ 20
である――
ここで、
1 から 20 までの和
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + 20
であり、
1 から 20 までの和
= 20 から 1 までの和
= 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + …… + 1
であるから――
“ 1 から 20 までの和”の 2 倍
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + 20
+ 20 + 19 + 18 + 17 + 16 + …… + 1
= 21 + 21 + 21 + 21 + 21 + …… + 21
= 21 × 20
である――
よって、
1 から 20 までの和
= 21 × 20 ÷ 2
であるから――
1、2、3、4、5、……、20
の平均は、
1 から 20 までの和 ÷ 20
=（ 21 × 20 ÷ 2 ）÷ 20
= 10.5
とわかる――
（2）
1、2、3、4、5、……、20
から 7 と 14 とを除いたものの平均は、
（ 1 から 20 までの和 − 7 − 14 ）÷（ 20 − 2 ）
である――
一方、（1）の結果から、
1 から 20 までの和
= 21 × 20 ÷ 2
であるから――
1、2、3、4、5、……、20
から 7 と 14 とを除いたものの平均は、
（21 × 20 ÷ 2 − 7 − 14 ）÷（ 20 − 2 ）
= 10.5
とわかる――
（3）
1、2、3、4、5、……、20
から 2 つの整数を除いたものの平均は、
（ 1 から 20 までの和 − 除かれる 2 つの整数の和 ）÷（ 20 − 2 ）
である――
これが（1）で求めた平均と同じであるなら、
除かれる 2 つの整数の和
= 7 + 14
= 21
とわかるので――
求める 2 つの整数の組み合わせは、和が 21 になる 2 つの整数であるとわかり、
1、20
2、19
3、18
4、17
5、16
6、15
7、14
8、13
9、12
10、11
とわかる――
＊
つづいて、問題７です。
＊
問題７
1 から 100 までの整数が順に並んでいる。
1、2、3、4、5、……、100
これら整数から、
21、22、23、24、25、……、40
と、
61、62、63、64、65、……、80
とを除いたものの平均を求めよ。
1、2、3、4、5、……、100
の平均は、
1 から 100 までの和 ÷ 100
である――
ここで、
1 から 100 までの和
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + 100
であり、
1 から 100 までの和
= 100 から 1 までの和
= 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + …… + 1
であるから――
“ 1 から 100 までの和”の 2 倍
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …… + 100
+ 100 + 99 + 98 + 97 + 96 + …… + 1
= 101 + 101 + 101 + 101 + 101 + …… + 101
= 101 × 100
である――
よって、
1 から 100 までの和
= 101 × 100 ÷ 2
であるから――
1、2、3、4、5、……、100
の平均は、
1 から 100 までの和 ÷ 100
=（ 101 × 100 ÷ 2 ）÷ 100
= 50.5
とわかる――
一方、
21、22、23、24、25、……、40
と、
61、62、63、64、65、……、80
とを合わせた平均は、
（ 21 から 40 までの和 + 61 から 80 までの和）÷（ 20 + 20 ）
であり――
61、62、63、64、65、……、80
の和を、
80 + 79 + 78 + 77 + 76 + …… + 60
で示（しめ）すように、逆の順に足して求めれば、
21 から 40 までの和 + 61 から 80 までの和
= 101 × 20
とわかるから――
21、22、23、24、25、……、40
と、
61、62、63、64、65、……、80
とを合わせた平均は、
（21 から 40 までの和 + 61 から 80 までの和）÷（ 20 + 20 ）
= 101 × 20 ÷（ 20 + 20 ）
= 50.5
とわかる――
よって、
1、2、3、4、5、……、100
から、
21、22、23、24、25、……、40
と、
61、62、63、64、65、……、80
とを除いたものの平均は、
1、2、3、4、5、……、100
の平均と同じ、
10.5
とわかる――
＊
最後は、問題８です。
＊
問題８
1 以上の整数が次のように順に並んでいる。
1、2、3、4、5、……、？
これら整数の平均が 2,024 であるとき、これら整数は、いくつまで並んでいるか（「？」に当たる整数は何か）求めよ。
1
の平均は、
1 ÷ 1
＝1
であり――
1、2
の平均は、
（ 1 + 2 ）÷ 2
= 1.5
であり――
1、2、3
の平均は、
（ 1 + 2 + 3 ）÷ 3
= 2
であり――
1、2、3、4
の平均は、
（ 1 + 2 + 3 + 4 ）÷ 4
= 2.5
であり――
1、2、3、4、5
の平均は、
（ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ）÷ 5
= 3
であることから――
1、2、3、4、5、……、？
の平均は――
整数「？」が 2 の倍数であれば、
1、2、3、4、5、……、？
の真ん中に並んでいる 2 つの整数のうち、小さいほうの整数に 0.5 を足した小数と同じであるとわかり――
整数「？」が 2 の倍数でなければ、
1、2、3、4、5、……、？
の真ん中に並んでいる整数と同じとわかる――
いま、
1、2、3、4、5、……、？
の平均は、
2,024
なので――
1、2、3、4、5、……、？
の真ん中に並んでいる整数は、2,024 であるとわかる――
1、2、3、4、5、……、？
の整数のうち、2,024 の左側には 2,023 コの整数が並んでいるから、2,024 の右側には 2,023 コの整数が並んでいるとわかる――
よって――
整数「？」は 4,047 とわかる――
＊
３つの問題の解き方を全部のべていたら――
何だか、すごく長くなってしまいましたね。
もう少し短く、まとめられるかと思っていましたが――
まったく、そんなことはありませんでした。
……
……
というわけで――
きょうは、この辺りで――（笑
『10 歳の頃の貴方へ――』
