――アキレスと亀
の逆説は――
というようなことを――
きのうの『道草日記』で述べました。
厳密には、
――解消できる
ではなく、
――少なくとも日常の感覚では、解消できるように思える
なのですが――
いずれにせよ――
その論証の概略を――
以下にお示しします。
……
……
いま――
時刻０において――
アキレスは地点０、亀は地点１にいるとします。
地点１は地点０の前方――アキレスにとっても亀にとっても前方――にあって――
２地点間の距離は Ｌ であるとします。
また――
アキレスの足の速さを Ｖ、亀の足の速さを ｖ とします。
アキレスは駿足、亀は鈍足とみなしますので、
Ｖ ＞ ｖ
とみなせます。
よって、
ｖ ＝ ｒＶ
とすると、
０ ＜ ｒ ＜ １
です。
時刻０において――
地点０のアキレスが地点１の亀を追いかけ始めます。
アキレスが地点１に着くとき――
亀は地点１の前方にある地点２に着きます。
このときの時刻１は、
Ｌ / Ｖ
です。
地点１から地点２までの距離は――
亀が時刻０から時刻１までに走る距離に等しいので、
ｖ（Ｌ / Ｖ）
＝ ｒＶ（Ｌ / Ｖ）
＝ ｒＬ
です。
当然ながら――
アキレスと亀との走り比べは、時刻１では終わりません。
時刻１において――
地点１のアキレスが地点２の亀を追いかけ続けます。
アキレスが地点２に着くとき――
亀は地点２の前方にある地点３に着きます。
このときの時刻２は、
時刻１＋ｒＬ / Ｖ
＝ Ｌ / Ｖ ＋ｒＬ / Ｖ
＝ Ｌ （１＋ｒ）/ Ｖ
です。
地点２から地点３までの距離は――
亀が時刻１から時刻２までに走る距離に等しいので、
ｖ（ｒＬ / Ｖ）
＝ ｒＶ（ｒＬ / Ｖ）
＝ （ｒ＾2）Ｌ
です。
ただし――
いま「ｒ の ｍ 乗」を「ｒ＾m」で表しています。
以下――
同様にして――
地点４、地点５、……、地点 ｎ、地点 ｎ+1 を想定でき――
かつ――
時刻３、時刻４、時刻５、……、時刻 ｎ を想定できます。
つまり――
時刻３は、
Ｌ（１＋ｒ＋ｒ＾2）/ Ｖ
であり――
時刻４は、
Ｌ（１＋ｒ＋ｒ＾2＋ｒ＾3）/ Ｖ
であり――
時刻５は、
Ｌ（１＋ｒ＋ｒ＾2＋ｒ＾3＋ｒ＾4）/ Ｖ
であり――
・
・
・
時刻 ｎ は、
Ｌ｛１＋ｒ＋ｒ＾2＋ｒ＾3＋ｒ＾4＋……＋ｒ＾(n-1)｝/ Ｖ
であるとわかります。
さて――
時刻 ｎ の分数のおける分子の一部、
１＋ｒ＋ｒ＾2＋ｒ＾3＋ｒ＾4＋……＋ｒ＾(n-1)
その和は、
｛１－ｒ＾n｝/（１－ｒ）
と計算できます。
ｎ を無限大とみなすとき、
１＋ｒ＋ｒ＾2＋ｒ＾3＋ｒ＾4＋……＋ｒ＾(n-1)
は、無限級数とみなせますから、
０ ＜ ｒ ＜ １
より、
ｒ＾n
→ ０
を得るので、
｛１－ｒ＾n｝/（１－ｒ）
→ １/（１－ｒ）
を得ます。
よって――
ｎ を無限大とみなすとき――
時刻 ｎ すなわち、
Ｌ｛１＋ｒ＋ｒ＾2＋ｒ＾3＋ｒ＾4＋……＋ｒ＾(n-1)｝/ Ｖ
は、
Ｌ /｛（１－ｒ）Ｖ｝
＝ Ｌ /（Ｖ－ｒＶ）
＝ Ｌ /（Ｖ－ｖ）
とみなせます。
この時刻は――
速さ Ｖ のアキレスが 速さ ｖ の亀に追いつくことを前提とする場合に――
アキレスが亀に追いつく時刻に等しい――
とみなせます。
よって――
アキレスは、ｎ が無限大である場合の 時刻 ｎ において――
亀に追いつくといえます。
いいかえると――
ｎ が有限である場合には――
アキレスは決して亀に追いつけない――
といえます。
つまり――
『アキレスと亀』は――
本来は、無限大の概念を導入する必要がある思考であるにも関わらず――
無限大の概念を十分には導入せず――たんに表層的に導入するのみで――むしろ、有限の概念のほうをより強く意識させる思考であるがゆえに――
一見、逆説のように思えるのです。
